INVERSIO-ONGELMAT

Mitä inversio tarkoittaa?

Inversio on suomennettuna: ylösalaisin, päinvastoin kääntyminen, kääntyneisyys. Esimerkiksi kieliopissa inversio tarkoittaa sanojen tai lauseiden muuttumista käänteiseen järjestykseen ja musiikissa se tarkoittaa käännöstä. Lääketieteessä inversio tarkoittaa nurinkääntyneisyyttä, normaalille vastakkaista sijaintia ja biologiassa kromosomin kääntymistä päinvastaiseen asentoon, kääntymää. (http://www.cs.tut.fi/~jkorpela/siv/)

Inversio-ongelma eli käänteinen ongelma

Inversion tutkimusongelmassa pyritään esimerkiksi selvittämään tuntemattoman kappaleen sisäinen rakenne käyttäen pelkästään kappaleen ulkopuolelta mitattavia suureita.

Inversio-ongelmat liittyvät yleensä havaintojen ja mittausten tulkintaan. Jos halutaan saada tietoa suureesta, jonka suora mittaaminen on vaikeaa tai mahdotonta, on tehtävä epäsuora mittaus: mitataankin jotain toista suuretta ja päätellään mittaustuloksista ratkaisu varsinaiselle ongelmalle. Ongelma käsitelläänkin siis käänteisenä ongelmana eli inversio-ongelmana. Käänteisen ongelman tavoitteena on selvittää mikä aiheuttaa mitatut havainnot, kun taas suorassa ongelmassa ratkaistaan suoraan annetut yhtälöt.

Mitattavaksi suureeksi valitaan suure, jonka riippuvuus kiinnostavasta suureesta on ilmaistavissa matemaattisella mallilla. Halutun informaation eristäminen tästä epäsuorasta havainnosta on juuri inversio-ongelma.

Esimerkkejä inversio-ongelmista

Ehkä tutuimpia inversio-ongelmia ovat erilaiset tomografia-kuvaukset lääketieteessä. Kehon läpi kulkeneiden röntgen-säteiden vähentynyt intensiteetti kertoo siitä, mikä on jonkin tuntemattomat kehonosan tiheysjakauma. Kysymys kuuluu, minkälaisen kohteen läpi säde on kulkenut. Tuloksena saadaan tyypillisesti kaksiulotteisia kehon läpileikkauskuvia. (TEKES, Teknologiakatsaus 104, 2001)

Yksinkertainen esimerkki inversio-ongelmasta on myös Miinaharava-peli (http://www.virpi.net/minesw/). Pelin idea on avata muut ruudut paitsi ne, joissa on miina. Ruudussa ilmoitettu luku kertoo kuinka monta miinaa ruutua ympäröivissä kahdeksassa ruudussa on. Ruudun, jossa on miina (tai luulet siellä olevan) voit merkata painamalla hiiren oikeanpuoleista nappia. Peli täytyy aloittaa painamalla sattumanvaraisesti jotain ruutua. Valittavanasi on kolme vaikeustasoa.

Mikä on tämän pelin inversio-ongelma? Miten ongelma ratkaistaan?

Matemaattinen inversio-ongelma

Inversio-ongelmien ratkaisemisessa käytetään usein matematiikkaa. Yleensä kahden suureen riippuvuus voidaan ilmaista jonkin matemaattisen mallin avulla. Matemaattisessa inversio-ongelmassa tehtävänä on ratkaista jokin parametri, kun tunnetaan jokin toinen parametri ja näiden riippuvuus toisistaan.

Oletetaan, että haluamme tutkia jotain ilmiötä, johon liittyen on helppoa mitata muuttujaa y. Muuttujan y riippuvuutta muuttujasta voidaan kuvata seuraavanlaisella yhtälöllä:

y=f(x, ), jossa

on tuntematon (parametri),

y on mittausdata,

f on malli (funktio), joka kuvaa y:n ja :n suhdetta, eli niiden riippuvuutta toisistaan,

x on "tunnettu parametri"

Inversio-ongelma on ratkaista , kun y tunnetaan.

Esim. Muuttujan riippuvuutta toisesta muuttujasta S kuvaa yhtälö S=ln + E. Muuttujaa S on helppo mitata. Mittauksessa on saatu S:n arvoksi 11, tiedämme, että tällä mittauksella E=7. Yksinkertainen inversio-ongelma on ratkaista , kun S tunnetaan.

S = ln + E

ln = S - E

= e^S-E = e^11-7 = e⁴ = 54,6

Inversiota kutsutaan myös parametrien estimoinniksi tai kalibroinniksi.

HUOM! Inversiota ilmakehätutkimuksen yhteydessä ei pidä kuitenkaan sekoittaa inversion meteorologiseen merkitykseen: inversiolla tarkoitetaan myös ilmakehän sulkukerrosta (inversiokerros), joka estää alimman ilmakerroksen leviämisen ylöspäin. Esimerkiksi pakkasaamuina piipuista nouseva savu jää "roikkumaan" ilmaan vaakasuoraksi kerrokseksi. Pitkään jatkuneen pakkasjakson jälkeen ylemmissä ilmakerroksissa oleva lämmin ilma estää saasteiden tuulettumisen ja saasteet jäävät maan pinnalle. Tällä sivustolla inversiolla tarkoitetaan kuitenkin datan prosessoinnissa tarvittavia matemaattisia inversio-menetelmiä.