2. Coulombin voiman valtava suuruus tulee tässä selväksi. Hyödyllistä on myös verrata elektronin ja protonin välistä sähköstaattista voimaa ja gravitaatiota.
3. Kannattaa ensin määrittää ohuen johdelevyn sähkökenttä. Sen avulla voi paksun levyn tapauksessa päätellä kentän yleisen käyttäytymisen levyn sisä- ja ulkopuolella. Kentän suuruus saadaan helpoimmin Gaussin lain avulla. Kentän voi myös integroida ohuiden levyjen kentistä, mutta se on työläämpää.
4. Ratkaisun avain: sähköstaattisen johdekappaleen potentiaali on sama kaikkialla kappaleessa. Yksinkertainen geometria sallii helpon laskennallisen käsittelyn.
5. Tehtävän sanamuoto oli ehkä hiukan epäselvä. Asetelma selviää mahdollisesti tästä: ensin on kauttaaltaan tasaisesti varattu pallo. Sitten sen sisältä poistetaan kaksi palloa. Jäljelle jäävän alueen varaus on Q (ja tämä alue ei ole pallo). Tämän jälkeen tyhjiin tiloihin tuodaan kumpaankin tasaisesti varaus -Q/2. Tällainen systeemi voidaan yhteenlaskuperiaatteen nojalla esittää kolmen varauspallon summana, mutta niiden varaukset eivät ole Q ja -Q/2, vaan jotain muuta, mikä jäi mietittäväksi. Kentän johtavalla käyttäytymisellä tarkoitetaan multipolikehitelmän ensimmäistä nollasta eroavaa termiä. Monopolitermiä ei ole, koska systeemin kokonaisvaraus on nolla. Dipolitermiäkään ei tule, minkä voi myös päätellä kohtuullisen helposti tilanteen geometrian avulla.
2. Helpoin tapa on esittää sähkökenttä potentiaalin avulla. Lisäksi on huomattava, että gradientin kohteen voi helposti vaihtaa. Sen jälkeen integroimisjärjestystä muuttamalla pääsee soveltamaan annettua aputulosta.
3. Tavanomainen separointiyrite toimii, vaikka johdeputki jatkuu x-suunnassa äärettömyyksiin, missä potentiaalin pitää selvästi lähetä nollaa. Pieni kauneusvirhe on huomautuksessa "sivuseinä ei siis ole johde". Pitäisi sanoa: "sivuseinä ei siis ole sähköstaattinen johde".
4. Tässä on kaksi helppoa mahdollisuutta: Gaussin laki tai Laplacen yhtälö, joka on nyt yhden muuttujan tavallinen differentiaaliyhtälö.
5. Kuvavaraukset löytänee helpoimmin sopivien aputasojen avulla ja tarkastelemalla erimerkkisten varausparien potentiaaleja. Lisäpohdintaa: onko muita kulmia, joissa kuvalähteet ovat pistevarauksia?
2. Mieti, kannattaako ensin määrittää sähkökenttä vai sähkövuon tiheys.
3. Palloharmonisia käyttäessäsi tarvitset käänteisen etäisyyden kehitelmää ja ortogonaalisuusintegraalia. Myös Laplacen yhtälön avulla tehtävä on suoraviivainen etenkin, jos huomaa käyttää aiempia palloesimerkkejä hyväkseen. Lisäpohdintaa: miksi Laplacen yhtälö pätee myös pallon sisällä? Entä jos polarisoituma olisi monimutkaisempi?)
4. Muista, että polarisaatiovaraus on todellista varausta ja että sähköstatiikassa aiemmin opitut asiat ovat edelleen voimassa. Kokonaispolarisaatiovaraus on nolla, mikä on yksinkertainen tarkastuskeino varaustiheyksien lausekkeille.
5. Sylinteri voidaan olettaa äärettömän pitkäksi. Kenttä on kohtisuorassa akselia vastaan. Tämä on hyvin samanlainen kuin eristepalloesimerkki. Tuloskin on hyvin samannäköinen, mutta 2-ulotteisuus aiheuttaa joitain eroja.
2. Permutaatiosymbolin hallitseminen helpottaa kummasti.
3. Kenttä kannattaa suoraan arvata tilanteen geometrian perusteella. Muista reunaehdot: johde on vakiopotentiaalissa, nesteen ja ilman rajapinnalla sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva, kenttä katoaa äärettömyydessä. Lisäksi kentän johtava käyttäytyminen kaukana pallosta tunnetaan multipolikehitelmän perusteella. Lisäpohdittavaa: mikä on polarisaatiovaraus pallon pinnalla?
4. Annettua vihjettä kannattaa noudattaa. Jälleen kerran järjestetään tilavuusintegraaliin divergenssi, jolloin päästään pintaintegroimaan.
5. Lämpövuo on analoginen sähkökentän kanssa (ja lämpötila potentiaalin kanssa). Vastaava sähköstatiikan ongelma oli harjoituksen 2 tehtävä 4, joten siitä olisi voinut poimia vastauksen yhdellä pienellä laskutoimituksella.
2. Analogia löytyy äärettömän tasaisesti varatun tason kanssa. Amperen kiertosääntö on helpoin tapa.
3. Pallonkuori kannattaa koota sopivista pienemmistä osista. Yhteenlaskuperiaaate on vahva työkalu.
4. Yleissivistystä: maapallon magneettinen pohjoisnapa sijaitsee nykyisin Kanadan arktisilla saarilla (oikeastaan se on magneettinen etelänapa, kun ajatellaan täsmällisesti). Pelkkä dipoli ei täysin selitä havaittavaa kenttää. Esimerkiksi kompassineulan poikkeaminen Suomessa itään maantieteellisestä pohjoisesta ei ole dipolimallin mukaista. Tarvitaan siis korkeampiakin multipoleja.
5. Tämä on perinteinen kotitehtävä, jonka tarkoituksena on harjoitella välttämätöntä vektorilaskentaa.
2. Sähköstatiikasta löytyy kätevä menetelmä myös tähän tehtävään. Edelleen riittää, että Maxwellin yhtälöt toteutuvat tarkastelualueessa ja että alueen reunalla oikeat reunaehdot ovat voimassa. Lisäpohdittavaa: kuinka käsiteltäisiin ongelma, jossa ideaalijohteen tilalla on tavallista magnetoituvaa ainetta, jonka permeabiliteetti poikkeaa ilman arvosta?
3. Faradayn lakia sovellettaessa integroimisreitin valinta liikkuvien systeemien tapauksessa vaatii huolellista harkintaa. Kiekon läpäisevä magneettivuo on vakio, mutta silti induktiolailla siihen saadaan virta, kuten pitääkin. Positiivisiksi valitut suunnat on aina muistettava merkitä näkyviin!
4. Mieti ensin kvalitatiivisesti, millä tavalla lamput kirkastuvat ja himmenevät. Toivottavasti tämä on joskus näytetty demonstraationa. Lenzin laki helpottaa ajattelua. Laskennallisesti kyseessä on yksinkertainen RL-piiri, jonka peruskäsittelyn pitäisi olla tuttua peruskurssilta. Positiivisiksi valitut suunnat on aina muistettava merkitä näkyviin!
5. Koska vastauksen lukuarvo on suuri, niin sen hahmottaminen vaatii jonkin vertailukohteen. Numerotietoisuus kuuluu fyysikon sivistykseen. Lisäpohdittavaa: onko mahdollista hyödyntää kentän energiaa?
2. Laske ensin sähkökenttä. Magneettikentän suhteen tilanne on varsin epätavallinen.
3. Laskennallisesti tehtävä on suoraviivainen. Keksitkö hyvää selitystä Poyntingin vektorin oudon tuntuiselle suunnalle?
4. Ennen energiatarkastelua kannattaa laskea Poyntingin vektorin lauseke muistaen tilanteen stationaarisuus. Nyt Poyntingin vektori tuntuu luonnollisemmalta kuin edellisessä tehtävässä.
5. Laskennallisesti kyse on vain pilkullisten yhtälöiden osoittamisesta samoiksi kuin pilkuttomien.
2. Greenin funktiot kuuluvat yleissivistykseen. Itsenäisesti läpi käyty laskenta tukee menetelmän muistamista.
3. Derivointitehtäväksi tämä on tavanomaista työläämpi. Vastaavia tulee laskettaessa liikkuvan varauksellisen hiukkasen kenttiä.
4. Potentiaalit kannattaa arvata helpoimmalla mahdollisella tavalla. Arvaus tarkastetaan derivoimalla.
5. Ellipsiksi osoittamisen voi tehdä esimerkiksi lineaarialgebrasta tutulla pääakselimuunnoksella.
2. Kannattaa ensin johtaa kentän aaltoyhtälö aineessa, joka noudattaa Ohmin lakia. Siirrosvirtatermin pudottaminen pois jättää jäljelle diffuusioyhtälön. Magneettikentän reunaehto pinnalla ja fysikaalisuusehto syvällä maassa riittävät yksikäsitteisen ratkaisun löytämiseksi.
3. Laskennallisesti kyse on Fourier-muunnoksen konvoluutiointegraaleista. Permittivisyysmalli on ainakin siinä mielessä järkevä, että kausaalisuus toteutuu.
4. Tämä on suoraviivainen derivointiharjoitus. Permutaatiosymbolia käyttämällä selviää jälleen kerran helpoimmalla.
2. Järvenpintatehtävässä tarkastellaan heijastuskertomia. Kangastuksiin liittyy ilman taitekertoimen lämpötilariippuvuus. Timantin säkenöinti liittyy suureen taitekertoimeen.
3. Rantavahdin edullisin reitti koostuu selvästi kahdesta suorasta osuudesta siten, että matkan kokonaisaika on mahdollisimman lyhyt.
4. Käytä magneettikentän tangentiaalikomponentin reunaehtoa.
5. Ratkaisumenetelmä on täsmälleen sama kuin TE-moodissa.
2. Lämmitysteho on verrannollinen permittiivisyyden imaginaariosaan, kuten Druden ja Lorentzin mallin yhteydessä opittiin. Sisäkentän laskussa sähköstaattinen approksimaatio ei ole kovin hyvä, mutta kohtuullisen kelvollinen.
3. Kannattaa huomata, että kenttä ei pienene aivan mitättömäksi uunin ulkopuolellakaan. Tärkeämpää on kuitenkin se, että tehotiheys on verrannollinen kentän neliöön, jolloin sen vaimeneminen on varsin huomattava.
4. Greenin funktioiden menetelmä lienee helpompi kuin suora lasku Lorenzin mitan potentiaali-integraalien avulla.
5. Tämä on teknisesti raskas tehtävä, vaikka se on "vain" derivointia. Ainakin seuraavalla tavalla lasku on onnistunut kovan työn jälkeen. Kentän lauseke kirjoitetaan muotoon, jossa käytetään R:n suuntaista yksikkövektoria. Lasketaan joukko aputuloksia: vektorin R ja sen pituuden aikaderivaatta (ks. luennot) ja yksikkövektorin derivaatta sekä nopeusvektorin aikaderivaatta. Kaikki kiihtyvyyteen liittyvät termit tulevat toisen kertaluvun derivoinnista. Välitarkastuksena kannattaa poimia nämä ja verrata niitä luentojen tulokseen. Jos tulos on oikein, niin jatkossakin on toivoa. Loppuvaiheissa osoittautui hyödylliseksi tietää, mitä on (1+x) korotettuna kolmanteen potenssiin. Vaikka lopussa saatavat lausekkeet eivät välttämättä muistuta ollenkaan haluttua tulosta, ne sieventyvät yllättävästi (jos on laskettu oikein). Toinen mahdollisuus olisi saada kentän lauseke suoraan aikaan tavalla tai toisella. Sen jälkeen jäisi kuitenkin vaivaamaan, onko tulos todella sama kuin suoraviivaisella potentiaalien derivoinneilla johdettu. Jos laskenta hyytyy täysin, niin aikaansa voi rauhassa käyttää johonkin fysikaalisempaakin ongelmaan.
2. Derivaattaoperaattorit muunnetaan Galilei- ja Lorentz-muunnosten mukaisesti ja sijoitetaan aaltoyhtälöön. Loppu on suoraviivaista laskemista.
3. Lorentzin muunnoksen käänteismuunnos voidaan laskea matriiseilla. Tällöin on ehdottomasti osattava kirjoittaa matriisit oikeaan järjestykseen.
4. Koska vapaita indeksejä 3 kappaletta ja jokaisella 4 mahdollista arvoa, yhtälöitä on yhteensä 64. Suurin osa on helppo osoittaa identtisesti tosiksi. Jäljelle jäävät täsmälleen halutut Maxwellin yhtälöt. Tehtävässä käytetään kovarianttia kenttätensoria, joka on siis ensin määritettävä kontravariantista tensorista.
5. Tässä tarvitaan samanlainen derivaattojen muunnos kuin tehtävässä 2. Kenttien muunnoskaavat päätellään tietyistä Maxwellin yhtälöistä. Sitten on vielä todettava, että loputkin yhtälöt muuntuvat oikein. Tämä tehtävä vakuuttanee tensori- ja nelivektorilaskennan teknisistä eduista.
2. Tehtävän voi ratkaista ainakin kahdella tavalla: lasketaan ensin A:n havaitsema kenttä ja muunnetaan se B:n systeemiin. Päätellään B:n havaitsemat varaus- ja virrantiheydet kenttien lausekkeista. Toinen mahdollisuus on ensin muuntaa varaus- ja virrantiheydet ja laskea niistä suoraan kentät B:n koordinaatistossa, jolloin ei tarvitse laskea A:n havaitsemaa kenttää.
3. Liikeyhtälön lisäksi tarvitaan Faradayn lakia. Sähkökenttä kasvattaa nopeutta, sopivasti kasvava magneettikenttä pitää hiukkasen ympyräradalla.
4. Nopeuden ja kiihtyvyyden raja-arvot pitäisi osata päätellä, vaikka laskenta ei sujuisikaan.
5. Kannattaa kirjoittaa liikeyhtälö komponenteittain ja integroida sopivassa järjestyksessä alkuehtoja hyödyntäen. Epärelativistisuus edellyttää myös, että E on paljon pienempi kuin cB.