Tehtävä 2. Laplace käänteisestä etäisyyden lausekkeesta tulee vastaan joka paikassa. Se pitää muistaa ulkoa.
Tehtävä 3. Sähkökenttä levyn lähellä tuntuu yksinkertaiselta esimerkiltä, mutta sillä on yllättävän paljon käyttöä. Levyjen välisen voiman lausekkeeseen ilmestyvä puolikas saanee myöhemmin kurssin aikana yleisemmän selityksen (ks. H7/T4).
Tehtävä 4. Derivointikin voi joskus olla aika vaikeaa!
Tehtävä 5. Tässä voisi pohtia yleisesti dipolimomentin riippuvuutta origon valinnasta. Kvadrupolimomentilla on eräs origon valinnasta riippumaton piirre.
Tehtävä 2. Vaikka johdekappale suojaa sisäpuoltaan ulkoiselta staattiselta kentältä, ei käänteinen aina päde.
Tehtävä 3. "Kulmapeili" yleistyy myös muillekin kuin toisiaan vastaan kohtisuorassa oleville tasoille.
Tehtävä 4. Sylinteritehtävä ratkeaa perusmenetelmällä muuttujien separoinnilla. Sen voisi myös ratkaista peilivarauksen avulla (lankadipoli sylinterin akselilla).
Tehtävä 5. Fysiikassa esiintyy usein tilanteita, joissa riittää löytää jonkin suureen oleellinen käyttäytyminen.
Tehtävä 2. Yksinkertainen kondensaattorilasku, jossa kuitenkin tuli kerrattua useita tärkeitä asioita.
Tehtävä 3. Pysyvästi polarisoitunut eristepallo on täysin analoginen pallon muotoisen kestomagneetin kanssa. Jälkimmäistä käsitellään luennolla myöhemmin (taas Laplacen yhtälön avulla). Helpoimmalla pääsee kuitenkin, kun uskaltaa käyttää palloharmonisia funktioita apuna integroinnissa.
Tehtävä 4. Itseisenergian arvoitus jää toivottavasti mietityttämään.
Tehtävä 2. Salaman huippuvirta voi mittausten mukaan todella olla useita kymmeniä kiloampeereja.
Tehtävä 3. Osittain ontto virtakaapeli on perusesimerkki yhteenlaskuperiaatteesta. Samalla tuli harjoiteltua Amperen kiertosäännön soveltamista.
Tehtävä 4. Kaksi lähekkäistä viivavirtaa muodostavat virtadipolin, jolla on eräissä ongelmissa käyttöä. Sähköstatiikan puolelta tuttu johdesylinteri ulkoisessa vakiokentässä voitaisiin käsitellä vastaavan varauslankadipolin avulla.
Tehtävä 5. Maapallon magneettikenttä lähellä pintaa voidaan hyvin mallintaa dipolin avulla. Useamman Maan säteen päässä tilanne muuttuu aurinkotuulen takia.
Tehtävä 2. Kestomagneetin kenttä symmetria-akselilla saadaan helpoimmin integroimalla "magneettista pintavarausta". Tässä on taas selvä analogia sähköisen polarisoituman kanssa.
Tehtävä 3. Kuvalähdeperiaate toimii myös magneettisissa ongelmissa.
Tehtävä 4. Magneettinen suojaus vastaa sähköstatiikan Faradayn häkkiä. Laskennallisesti neljän tuntemattoman yhtälöryhmä on ikävä, mutta käytännössä se ratkaistaisiin jollain symbolisen laskennan ohjelmalla.
Tehtävä 5. Tämäkin induktiotehtävä voidaan ratkaista Lorentzin voimasta lähtien tai suoraan Faradayn lailla. Positiivisten kiertosuuntien kanssa kannattaa olla huolellinen.
Tehtävä 2. Paramagneettiseen palkkiin kohdistuva voima on erittäin pieni, vaikka kenttä on varsin suuri.
Tehtävä 3. Virtajakauman pysymisestä vakiona seuraa, että H-kentän roottori ei muutu, mutta H-kenttä ei välttämättä pysy vakiona.
Tehtävä 4. Maapallon magneettikentän energia hahmottuu paremmin, kun sitä vertaa johonkin tunnetumpaan kohteeseen.
Tehtävä 5. Turvallisinta on tarkastella kondensaattorin levyn varausta suoraan: positiivisen levyn varaus pienenee levyltä lähtevän virran vuoksi. Magneettikenttä saadaan Amperen kiertosäännän avulla, jolloin siirrosvirta on ehdottomasti muistettava ottaa mukaan. Tässä tilanteessa siirrosvirtaa ei voi approksimoida pieneksi.
Tehtävä 2. Sopivalla muunnoksella Poyntingin vektori saadaan kulkemaan "luonnolliseen" (?) suuntaan. Kahden ensimmäisen tehtävän tarkoitus oli näyttää, että klassisestakin fysiikasta löytyy asioita, joille ei ole helppoa selitystä.
Tehtävä 3. Tämä on yksi versio Feynmanin kiekosta, joka alkaa pyöriä. Monipuolinen tehtävä!
Tehtävä 4. Ensimmäisissä harjoituksissa laskettu kondensaattorilevyjen välisessä voimassa esiintyvä puolikas tuli nyt selitetyksi joko jännitystensorin avulla, suoralla mikroskooppisella päättelyllä tai energiatarkastelulla.
Tehtävä 5. Tehtävän vaikein osa on alku: mikä on sähkökentän muoto? Koska tilanne on sähköstaattinen, niin pallon potentiaali on vakio eikä voi riippua kulmista. Siis potentiaali käyttäytyy kuten 1/r. Sähkökenttä on silloin radiaalinen (kohtisuorassa johteen pintaa vastaan), toteuttaa Maxwellin yhtälöt ja tangentiaalikomponentin jatkuvuuden rajapinnan yli.
Tehtävä 2. Yksinkertainen klassinen pyörivän varauksen malli osoittaa, että kvanttimekaniikkaa ei tässäkään tapauksessa voi ymmärtää ihan arkipäiväisesti.
Tehtävä 3. Londonin yhtälöt ovat yksinkertainen suprajohtavuuden malli. Kvanttimekaniikka tarjoaa täsmällisemmän kuvauksen. Laskennallisesti päädyttiin taas diffuusioyhtälöön.
Tehtävä 4. Tasoaaltoja ei oikeasti ole olemassa, koska niiden aiheuttajan pitäisi olla äärettömän suuri harmonisesti värähtelevä virtalevy (kannattaa pohtia, olisiko tällaista värähtelyä edes mahdollista luoda). Laskennassa voi hämätä integraalista ilmestyvä epämääräinen termi. Fyysikko puhuu sen tietysti pois. Siistimmin asia hoituisi olettamalla väliaineelle äärellinen johtavuus, jolloin kompleksinen aaltoluku hoitaisi vaimennuksen.
Tehtävä 2. Elliptisen polarisaation selvittely on hyvää lineaarialgebran kertausta.
Tehtävä 3. Kannattaa vertailun katsoa jostain fysikaalisen matematiikan kirjasta Laplacen operaattorin lauseke pallokoordinaatistossa vektorifunktioon kohdistuvana.
Tehtävä 4. Suosittu Maan johtavuusmalli on kerroksittainen, koska sillä on helppo laskea Maan magneettikentän nopeisiin vaihteluihin liittyvän sähköknetän ja magneettikentän suhde maan pinnalla. Kyseessä on oikeasti hyödyllinen tulos, kun kerroksia on useita. Homogeenisen maan mallikin antaa oikean yleiskuvan.
Tehtävä 2. Kausaalisuus on erittäin tärkeä asia, joka rajoitu elektrodynamiikkaan.
Tehtävä 3. Aaltoputket ovat hyvää perusasiaa, jossa ratkaisuideoiden osaaminen on tärkeää, ei hankalien kaavojen ulkoa opettelu. TM-moodissa pitää huomata, että alimmalla katkaisutaajuudella on saatava nollasta eroava pitkittäinen sähkökenttä. Muuten kyseessä on TEM-moodi, joka ei etene ontossa putkessa.
Tehtävä 4. Ominaismoodien ratkaisu laatikossa voi hyvinkin tulla vastaan muillakin fysiikan aloilla.
Tehtävä 2. Lienardin ja Wiechertin potentiaalit lienee laskennallisesti ED:n vaikein asia. Potentiaalien lausekkeet saa kuitenkin helpohkosti käyttämällä aaltoyhtälön ratkaisua ja yhtä deltafunktioiden peruskaavaa. Takana oleva matematiikka on tietysti aika järeää.
Tehtävä 3. Edellä saatujen potentiaalien derivointi on melkeinpä vaikeampaa kuin niiden johtaminen integroimalla.
Tehtävä 4. Vakionopeudella liikkuvan varauksen kentästä on hyvä olla jonkinlainen mielikuva. Samoin mielivaltaisella nopeudella liikkuvan varauksen kentän lausekkeet on ymmärrettävä kvalitatiivisesti.
Tehtävä 5. Massan alkuperän pohdinta on mielenkiintoista. Samalla palautui mieleen, että sähkömagneettisella kentällä on liikemäärää.
Tehtävä 2. Jotkin idealisoidut antenniesimerkit voidaan ratkaista tarkasti. Hintana on usein jonkinlainen epäfysikaalisuus. Tässä tapauksessa virran arvon äkillinen muutos ei todellisuudessa ole mahdollinen (eikä mikään johdin ole äärettömän ohut).
Tehtävä 3. Tämä on tyypillinen antennilasku: sopivat fysikaaliset approksimaatiot alussa ja sitten raakaa laskentaa.
Tehtävä 4. Vektoriderivointia ja -integrointia on syytä ajoittain kerrata. Niitä tarvitaan ihan oikeasti tällä alalla.
Tehtävä 5. Lisäpohdintaa: mitä seuraa aaltoyhtälön muodon muuttumisesta klassisessa mekaniikassa esimerkiksi ääniaaltojen osalta?
Tehtävä 2. Kun homogeeniset Maxwellin yhtälöt esitetään tensoriyhtälönä, on muistettava tarkastaa, että ne ovat täysin yhtäpitäviä. On siis tutkittava kaikki indeksivaihtoehdot.
Tehtävä 3. Kaikki tensorilaskenta ei ole vaikeaa.
Tehtävä 4. Kenttien muunnoskaavojen käyttöä on harjoiteltava. Invarianssien suoraviivainen todistaminen niiden avulla on hyödyllistä.
Tehtävä 5. Hiukkasen relativistinen liike homogeenisessa sähkökentässä kuuluu perustehtäviin. Laskennalliset yksityiskohdat riippuvat alkuehdoista. Vertailu epärelativistiseen ratkaisuun on aina paikallaan. Samoin kannattaa pitää huolta siitä, ettei valon nopeutta ylitetä!