Pohdintoja ED:n luennoista (kevät 2002)
1. Johdanto
Koko klassinen ED yhdessä tunnissa.
2. Staattinen sähkökenttä
Coulombin laki ja Gaussin laki
Coulombin lain muotoa ei ilmeisesti voi korostaa liikaa. Toivottavasti peruskurssilla on laskettu sähkökenttiä suoraan integroimalla. Nyt niitä käsiteltiin Gaussin lain avulla. Äärettömän pitkä lankavaraus olisi mainio esimerkki suoran integroinnin ongelmista potentiaalia laskettaessa, ja esimerkki siitä, kuinka fysiikassa usein selvitään äärettömyyksistä.
Poissonin ja Laplacen yhtälöt
Nämä ovat fysiikan tärkeimpiä yhtälöitä ja siksi niihin käytettiin runsaasti aikaa. Johdattelussa mainitsin, ettei Laplacen yhtälö suinkaan aina ratkea separoimalla. Toisaalta usein voidaan tilannetta approksimoida sopivasti, jolloin separointiyrite tehoaa.
Peilivarausmenetelmä
Peilivaraus on hieman huono termi, olisi parempi puhua kuvalähteestä. Menetelmä ei rajoitu staattisiin varausjakaumiin, vaan on kätevä monissa dynaamisissa ongelmissa. TKK:n sähkömagnetiikan laboratoriossa on tehty merkittävää työtä tällä alalla. Itse käytän paljon erästä kuvamenetelmän versiota tutkimustyössäni.
Greenin funktiot
Greenin funktiot esitetään perinteisesti tässä kohdassa ED:n kurssia. Niin nytkin, mutta vain lyhyesti. Ne ovat hyödyllisiä monissa käytännön ongelmissa, mutta johtavat yleensä integraaliyhtälöihin, jotka ratkotaan numeerisesti.
3. Sähkökenttä väliaineessa
Johdatteluna pohdittiin, miksi aine ylipäätään pysyy kasassa. Klassisesti se ei onnistu, mutta kvanttimekaniikka auttaa. Mielikuvan luominen on tosin hankalampaa.
Tämän jälkeen sähköstatiikka puettiin väliainemuotoon, perehdyttiin kenttien rajapintaehtoihin ja pikaisesti hahmoteltiin eristepallon kenttä ulkoisessa vakiokentässä. Laplacen yhtälöstä ei tietenkään päästy eroon. Reunaehdot vain ovat hieman erilaiset kuin johdepallolla.
Lisäksi tuli mainittua, ettei täydellisiä eristeitä ole, vaan kaikki aineet johtavat jonkin verran sähköä. Tähän palataan magnetostatiikassa virran jatkuvuusyhtälön myötä.
Päätteeksi esitettiin kuvavarausten käyttö tehtävässä, jossa ääretön taso jakaa avaruuden kahteen homogeeniseen eristealueeseen ja toisessa alueessa on pistevaraus. Kuvalähteiden hyödyllisyys ei siis rajoitu johdeongelmiin.
4. Sähköstaattinen energia
Vaikka sähköstaattinen energia vaikuttaa laskennallisesti aika suoraviivaiselta asialta, siihen liittyy ainakin kaksi syvällistä ongelmaa: missä energia sijaitsee (kentässä vai hiukkasilla) ja miten pitäisi suhtautua pistevarauksen äärettömään itseisenergiaan. Edelliseen kysymykseen palataan Poyntingin teoreeman yhteydessä, itseisenergia jää kvanttifysiikassa pohdittavaksi. Tasaisesti varattu pallonkuori on laskennallisesti helppo esimerkki, joka toivottavasti selvensi ongelmaa.
5. Staattinen magneettikenttä
Siirryttiin sähköstatiikasta magneettikentän pariin pienellä mainospalalla (IL/GEOn magneettikenttiin liittyvä tutkimus). Oikeastaan magneettikentässä ei ole mitään uutta sähkökenttään verrattuna, koska sähkömagneettinen kenttä on yksi ja sama asia suhteellisuusteoreettisesti katsottuna. Arkipäiväisellä tasolla sitä ei aina tule huomanneeksi tai edes tarvitse jatkuvasti ajatella.
Toivottavasti opetuksessa rinnastus sähköstatiikkaan toimii. Laskennalliset menetelmät ainakin ovat aivan samat, vaikka vektorilaskenta on nyt hieman monimutkaisempaa. Magneettikentän kvalitatiivinen päättely annetusta virtajakaumasta ei ole yhtä helppoa kuin sähkökentän tapauksessa.
Sähkövirta
Ensimmäinen konkreettinen yhteys sähkön ja magnetismin välillä tulee sähkövirran kautta varauksen säilymislaista seuraavan jatkuvuusyhtälön välityksellä. Tosin statiikassa sähkö- ja magneettikenttiä kuvaavat Maxwellin yhtälöt eivät vielä kytkeydy toisiinsa.
Magneettivuon tiheys
Biot'n ja Savartin laki vastaa Coulombin lakia, mutta varausalkioita vastaavista virta-alkioista puhuttaessa kannattaa olla varovainen. Tärkeitä perusmalleja ovat äärettömän pitkän viivavirran kenttä ja neliö- tai ympyräsilmukan kentät.
Amperen laki
Laskentapuolella toivottavasti selvisi, että Levi-Civitan symboli on oikeasti hyödyllinen vektoritulojen pyörittelyssä. Löydettiin myös Gaussin lakia vastaava Amperen kiertosääntö. Jonkin verran pitää heiluttaa käsiä, että saa toroidin magneettikentän geometrian hahmottumaan ennen kiertosäännön soveltamista.
Potentiaaliesitys ja multipolikehitelmä
Suora analogia sähköstatiikkaan antaa sivistyneen arvauksen vektoripotentiaalin lausekkeelle. Arvaus tarkastetaan derivoimalla. Vektoripotentiaalin fysikaalista tulkintaa olisi mukava pohtia enemmän, vaikka se meneekin kvanttimekaniikan puolelle.
Multipolikehitelmä voidaan lainata sähköstatiikasta, mutta vektori-integraalien käsittely on hankalampaa. Kaiken kaikkiaan magnetostatiikan luennointiin kannattaa varata riittävästi aikaa.
Lorentzin voima
Tarkasteltiin hieman tarkemmin varauksellisten hiukkasten sähkömagneettista vuorovaikutusta. Voiman ja vastavoiman lain pätevyys jätettiin pohdittavaksi. Asiaan palataan myöhemmin kuten myös liikkuvien varausten kenttien yleiseen laskentaan.
6. Magneettikenttä väliaineessa
Magnetoituva aine voidaan laskennallisesti käsitellä samalla tavalla kuin polarisoituva aine. Toivottavasti tämä rinnastus helpottaa asian oppimista. Sama vastaavuus tulee eteen myös monessa harjoitustehtävässä. Rajapintaehdotkin muistuttavat sähköstatiikasta tuttuja yhtälöitä. Taulu oli tosin hiukan levottoman näköinen magneettikentän tangentiaalikomponentin käsittelyn jälkeen.
7. Sähkömagneettinen induktio
Induktiolakia pitäisi havainnollistaa kokeellisesti. Kuvien piirtely taululle tai perusmerkkien käyminen kalvoilla ei välttämättä ole kovin valaisevaa. Asiaa ei helpota se, että induktiosta saa keksittyä hankalia esimerkkejä. Toisaalta induktiolaki tulee jatkossa useaan otteeseen esille, joten kertausta saadaan tarpeeksi.
Itseinduktio ja keskinäisinduktio ovat konkreettisia esimerkkejä induktiolain seurauksista. Samalla tuli hieman kerrattua virtapiirilaskentaa.
Induktiolain käsittely päättyi tietysti Feynmanin kiekkoon, joka alkaa sittenkin pyöriä. Liikemäärämomentin säilymislakikin pelastuu, mikä selviää muutaman luennon päästä.
8. Magneettinen energia
Virtasilmukan magneettinen energia pääteltiin rohkeasti mekaniikan analogian avulla taas Feynmania lainaten (samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut). Se perusteltiin myös perinteisemmin ja jälleen vertailu sähköstatiikkaan oli hyödyllinen. Luentomonisteen ulkopuolelta käytiin läpi yksinkertaisia virtapiirejä (RL,LC, RLC), jotka kaikki havainnollistavat induktiota ja sähkömagneettista energiaa.
9. Maxwellin yhtälöt
Siirrosvirta
Toistettiin Maxwellin suuri askel elektrodynamiikalle ja muutettiin Amperen laki yhteensopivaksi varauksen säilymislain kanssa. Tuntui helpolta, mutta se on jälkiviisautta. Feynmanin mukaan olemme nyt K2:n huipulla eli koko klassinen fysiikka on hallinnassa. (Kvanttimekaniikka on Mount Everest.) Koska jatkamme klassista linjaa, niin jatko on helppoa: tullaan alas vuorelta ja kerätään työn hedelmät. Tosin vuorelta laskeutuminen voi olla vaikeampaa kuin sinne nouseminen.
Suuret säilymislait
Poyntingin vektori pelastaa energian, liikemäärän ja liikemäärämomentin säilymislait. Samalla se kuitenkin aiheuttaa mielenkiintoisia tulkintaongelmia eli klassinen fysiikka ei sittenkään ole ihan valmis.
Aaltoyhtälöt
Aaltoyhtälöiden ratkaisu täydentää Maxwellin yhtälöiden käsittelyn. Nyt osataan laskea kentät aina ja kaikkialla, jos lähteet tunnetaan. Kaiken lisäksi potentiaalien lausekkeet ovat lähes samat kuin statiikassa. Fysikaalisesti signaalin äärellinen etenemisnopeus on kuitenkin erittäin tärkeä ero statiikkaan verrattuna.
10. Sähköiset ja magneettiset materiaalit
Päästiin kokoelmaan erilaisia sähkö- ja magnetostatiikan mikroskooppisen tason esimerkkejä. Tällä kurssilla rajoitutaan klassiseen tarkasteluun, mikä kannattaa koko ajan muistaa. Ruokasuolakiteen hajottamiseen tarvittava energia saatiin mukavasti arvioitua yksinkertaisella sähköstaattisen energian laskemisella.
Aineiden magneettisten ominaisuuksien käsittely klassisesti on hankalaa. Osa tuloksista on oikein myös kvanttimekaanisesti, mutta on vaikea pitää mielessä, milloin näin on ja milloin ei. Hystereesikäyrälle saadaan sentään ymmärrettävä energiatulkinta.
11. Sähkömagneettiset aallot
Sähkömagneettisten aaltojen tärkeys selviää pelkästään vilkaisemalla ympärilleen. Laskennallisesti käsittely on helppoa, kun tutkitaan tasoaaltoja ja muistetaan tarkastaa kulloisestakin teoksesta merkkisopimukset. Perinteisesti aallot opiskellaan ensin johtamattomassa aineessa, mutta ohminen johtavuus ei itse asiassa yhtään vaikeuta asiaa, kunhan on tarkkana kompleksiarvoisen aaltoluvun kanssa.
12. Aaltojen heijastuminen ja taittuminen
Tämä on suoraviivaista asiaa: kirjoitetaan tulevien ja menevien aaltojen lausekkeet eri alueissa ja liimataan ratkaisut yhteen reunaehtojen avulla.
13. Aaltoputket ja resonanssikaviteetit
Tämäkin on suoraviivaista: käytetään hyväksi tilanteen geometriaa ja haetaan aaltoratkaisuja. Vaikka tämä on rutiinimaista, niin pitää muistaa, että aaltoyhtälön ratkaisu ei automaattisesti toteuta Maxwellin yhtälöitä. Laskentamielessä kannattaa vilkaista kvanttimekaniikan puolelle. Schrödingerin yhtälö näyttää jotenkin tutulta ja samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut.
14. Liikkuvan varauksen kenttä
Yksittäisen liikkuvan varauksen kentän laskeminen vaikuttaa helpommalta kuin on. Potentiaalit saa vielä kohtuullisen helposti, kun käyttää aikamoisen esityön vaativia muita tuloksia valmiina. Kenttien laskeminen on yllättävän vaikeaa, vaikka se on vain derivointia. Erityisen tärkeää on tehdä itselleen selväksi koordinaatisto ja viivästynyt aika. Erityisesti säteilykenttään liittyy mielenkiintoisia ongelmia, kun mennään hiukkastasolle (esimerkiksi kiihtyvän hiukkasen itseensä aiheuttama voima).
15. Säteilevät systeemit
Tärkeä käytännön esimerkki säteilevistä systeemeistä ovat erilaiset antennit. Käsittely on varsin suoraviivaista: tehdään sopivat fysikaaliset approksimaatiot, minkä jälkeen tyypillisesti integroidaan kovasti. Tällä kurssilla tyydytään muutamaan esimerkkiin ilman antennilaskennan systemaattista läpikäymistä.
16. Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria
Pitkin kurssia on mainittu, että monet asiat ovat sopusoinnussa suhteellisuusteorian kanssa. Nyt se sitten toivottavasti selviää. Oikeastaan kyse on vain Maxwellin yhtälöiden (ja siinä sivussa liikeyhtälön) esittämisestä muodossa, josta näkyy välittömästi yhtälöiden muodon säilyminen Lorentzin muunnoksessa. Samalla nähdään, että tässä mielessä sähkö- ja magneettikenttä ovat yhtä ja samaa kenttätensoria. Lorentz-muunnos kentille tipahtaa aivan itsestään. Matemaattisesti kaikki tehdään tensorilaskennan avulla, mikä on varsin automaattista, kunhan ensin tottuu merkintätapoihin ja laskusääntöihin.
17. Varatun hiukkasen liike SM-kentässä
Liikeyhtälön analyyttinen ratkaisu onnistuu helpoimmin homogeenisissa sähkö- ja magneettikentissä myös relativistisessa muodossa. Muissa tapauksissa jouduttaneen turvautumaan sopiviin approksimaatioihin, joihin voi perehtyä enemmän plasmafysiikassa.
ari.viljanen(at)fmi.fi