2. Tässä mentiin hieman eteenpäin kurssissa, koska kyseessä on oleellisesti vektoripotentiaali staattisessa tilanteessa. Vastaavaa vektoripyörittelyä esiintyy kyllä muuallakin. Jos ei muuta keksi tällaisissa tehtävissä, niin sopiva tulon derivointi voi johtaa johonkin. Samoin kannattaa huomata, että kahden paikkavektorin välistä erotusta nablatessa kohdetta voi vaihtaa, kunhan vaihtaa myös derivoinnin etumerkin.
3. Coulombin vuorovaikutuksen voimakkuus tuli selväksi. Maapallon massaisen kappaleen paino on hyvä vertailukohde.
4. Yhteenlaskuperiaate toimii tämänkaltaisissa tilanteissa. Onkalon sisällä ei ole nollakenttää, koska kyseessä ei ole johteen ympäröimä tila. Se, että onkalon sisällä on vakiokenttä, ei ilmeisesti ole helposti pääteltävissä ilman laskuja.
5. Tämä oli hankalampi tehtävä kuin miltä vaikutti ennen harjoituksia. Potentiaali on kuitenkin helppo laskea kaikkialla ja siitä saa sähkökentän suoraviivaisella derivoinnilla. Johteen pintavarauksen ja pinnan sähkökentän liittäminen toisiinsa on hieman singulaarista. Kohtuullisen uskottavin perustein siinä vaiheessa voidaan kuitenkin olettaa Coulombin lain olevan täsmälleen 1/r^2.
2. Neutraalin systeemin potentiaalin multipolikehitelmässä ei ole monopolitermiä. Jos siis potentiaali häviää nopeammin kuin 1/r, kokonaisvaraus on nolla. Deltafunktion poimiminen vaatii huolellisuutta derivoitaessa. Varmin tapa on ensin laskea yleinen kaava kahden funktion tulolle, johon kohdistetaan Laplacen operaattori.
3. Laatikkopotentiaalin ratkaiseminen on perusesimerkki, joka on osattava. Erilaisia muunnelmia on loputtomasti. Joissain tilanteissa esimerkiksi hyperbolisten funktioiden asemesta kannattaa käyttää eksponenttifunktiota (vaikkapa puoliavoin suorakulmainen johdeputki, jossa potentiaali vaaditaan avoimessa suunnassa kaukana nollaksi).
4. Yksiselitteinen ratkaisu saadaan, kun r-riippuvuutta ei ole, vaan ainoastaan kulmariippuvuus. Jos r-riippuvuus otetaan mukaan, on mahdollista kirjoittaa reunaehdot toteuttava ratkaisu, mutta siihen jää määräämättömiä kertoimia. Niiden ratkaisemiseksi pitäisi antaa lisää reunaehtoja. Toinen ongelma tehtävässä on johdelevyjen pintavaraukset. Selvintä on ajatella, että johdelevyillä on nollasta poikkeava paksuus, jolloin erisuuret varaukset eri puolilla pintaa ovat luonnollisia. Sinänsä tällainen ääretön systeemi on hiukan keinotekoinen.
5. Kaikki kuvavaraukset eivät välttämättä ole vastakkaismerkkisiä kuin todelliset varaukset. Kulmapeilin yhteydessä kuvavarausten summa on -Q, mutta muiden geometrioiden tapauksessa näin ei välttämättä ole (esimerkiksi pallo).
2. Sähkökenttä on kaikkialla levyjen välissä homogeeninen. Eristekappaleen poikkileikkauksen muodolla ei ole väliä, kunhan sen sivut ovat suoria ja kohtisuorassa levyjä vastaan. Ratkaisu on todella näin yksinkertainen. Jos asia silti hämää, niin voi vedota siihen, että Maxwellin yhtälöt reunaehtoineen toteutuvat selvästi.
3. Koaksiaalikaapelin kentän voi laskea suoraan viivavarausanalogian avulla. Helpointa lienee lähteä liikkeelle sähkövuon tiheyden lausekkeesta ja laskea siitä sähkökenttä. Näin välttyy Laplacen yhtälön pyörittämiseltä, mikä ei sekään tässä tapauksessa ole hankalaa.
4. Vakiopolarisoituneen pallon aiheuttama sähkökenttä ratkeaa suoraviivaisimmin potentiaalin kautta integroimalla polarisaatiovaraustiheyttä, josta tässä tapauksessa jää jäljelle vain pintavaraus. Vaihtoehtoinen tapa on Laplacen yhtälön ratkaisu, joka käsitellään luentojen luvussa 6 (tasaisesti magnetoitunut pallo on täysin analoginen tilanne). Vakiopolarisoitunut pallo ei muuten ole yksinkertainen väliaine.
5. Kuutiohilan hilapisteissä on syytä laskea nimenomaan sähkökenttä. Potentiaalin arvosta yhdessä pisteessä ei ole iloa, sillä siitä ei määräydy potentiaalin gradientti eli sähkökenttä!
2. Kahden pistevarauksen systeemin potentiaalienergian voi laskea myös integroimalla suoraan kenttiä, mutta se on vaivalloista.
3. Vääntömomenttitarkastelu muistuttaa siitä, että voimien yhtäsuuruuden lisäksi myös momenttien pitää olla yhtäsuuret, jotta ekvivalenssi olisi täydellinen. Laskuteknisesti opittiin samalla indeksipyöritystä.
4. Painelaskun tarkoitus oli havainnollistaa Maxwellin jännitystensorin käyttöä. Samalla saattoi tulla puolihuomaamatta laskettua pieneen johdekappaleen osaseen vaikuttava voima, jossa olevaa puolikasta kannattaa hiukan pohtia.
5. Ilmeisesti ratkaiseva vaihe on energiaperiaatteen soveltaminen. Sen jälkeen laskenta on epälineaarisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisua. Yksinkertainen potenssiyrite toimii ja antaa kaikki vaadittavat yhtälöt ja reunaehdot toteuttavan ratkaisun.
2. Viivavirran virrantiheyden lauseke on samaa muotoa kuin tasaisen varauslangan varaustiheydellä. Vektoripotentiaalin lauseke on siksi samanmuotoinen kuin tasaisesti varatun langan potentiaalilla, koska molemmat toteuttavat Poissonin yhtälön ja samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut. Kaksi lähekkäin tuotua viivavirtaa muodostavat eräänlaisen dipolin, ja sen kenttä voidaan esittää myös skalaaripotentiaalin avulla (kokeile!).
3. Tehtävässä ei muistettu huomauttaa, että maapallon magneettinen dipoli osoittaa etelään, jolloin kenttä pohjoisella pallonpuoliskolla suuntautuu alaspäin, Suomessa jo lähes pystysuorasti.
4. Helpoin tapa lienee kirjoittaa ensin magneettivuon tiheys integraalina virrantiheyden avulla. Vaihtamalla sopivasti integrointien ja derivointien järjestystä päästään käyttämään annettua vihjettä. Tehtävässä on myös mahdollista muuttaa yksi tilavuusintegraali pintaintegraaliksi, jolloin tarvitaan hiukan palloharmonisia funktioita.
5. Magneettisen skalaaripotentiaalin johtaminen vektoripotentiaalista sisältää magnetismille tyypillistä vektorilaskentaa. Kaavoja ei tarvitse muistella ulkoa, jos opettelee käyttämään sujuvasti permutaatiosymbolia ja lyhyttä summausmerkintää.
2. Tehtävä ratkeaa aivan samalla idealla kuin luennoilla aiemmin käsitelty pistevaraus eristepinnan lähellä.
3. Elektronin nopeus kannattaa myös laskea, vaikka sitä ei kysyttykään. Huomataan, että se on paljon valon nopeutta pienempi eli klassinen liikeyhtälö riittää. Virtasilmukkaan kohdistuva vääntömomentti on vektori, joten momentin suuruus riippuu silmukan asennosta.
4. Homopolaarinen generaattori on laskennallisesti näennäisen yksinkertainen, jos päättelee efektiivisen sähkökentän Lorentzin voiman avulla. Laskenta on helppoa myös sovellettaessa suoraan Faradayn lakia integraalimuodossa. Silloin on osattava valita reitti oikein: levyllä olevan osan on oltava levossa levyn suhteen. Molemmat tavat kannattaa miettiä huolellisesti.
5. Sähkömotorisen voiman voi taas päätellä Lorentzin voiman avulla, jolloin liikkuva tanko on "paristo". Paristo on lainausmerkeissä, koska induktiolain integraalimuotoa käytettäessä sähkömotorisen voiman "sijaintia" ei voi paikallistaa (tässä riittää mielenkiintoista pohdittavaa). Kumpaakin tapaa käytettäessä on muistettava valita positiiviset suunnat ja pidettävä niistä kiinni koko laskun ajan. Jos esimerkiksi jokin virta tulee negatiiviseksi, niin silloin se kulkee valittua positiivista suuntaa vastaan, missä ei ole mitään ihmeellistä. Lopuksi voi tarkastaa, että tangon vetämiseen tarvittava teho on täsmälleen sama kuin piirissä kuluva ohminen teho. Induktanssia ei oteta huomioon, koska se olisi laskuteknisesti hankalaa silmukoiden geometrian muuttumisen takia. Koska piirissä ei ole käämejä, voidaan induktanssi varsin turvallisesti olettaa pieneksi.
2. Induktanssin vaikutus tulee tässä tehtävässä konkreettisesti näkyviin sekä virran muutosta hidastavana ominaisuutena että mageettista energiaa varastoivana tekijänä. Tässäkin tehtävässä on määriteltävä positiiviset suunnat huolellisesti.
3. Silmukkaparin magneettinen energia on positiivinen, koska muuten virrat voisivat kasvaa ilman ulkopuolista työtä.
4. Tehtävän sanamuoto oli hiukan epätäsmällinen. Tarkoituksena oli olettaa, että palkki tuodaan kohtisuorasti kenttää vastaan esimerkiksi kahden kestomagneetin napojen väliin. Koska permeabiliteetti on lähes sama kuin ympäröivässä ilmassa, magneettivuo on käytännössä vakio.
5. Magnetoituvan kappaleen energia lasketaan täsmälleen samalla idealla kuin luennoissa esitetyn polarisoituvan kappaleen energia. Magneettikentän luova virta voidaan olettaa nollasta poikkeavaksi vain äärellisen alueen sisällä.
2. Tämä on tyypillinen esimerkki fysikaalisesta tehtävästä, jossa laskennassa tärkeintä on tunnistaa erikoisfunktion differentiaaliyhtälö. Sen jälkeen matemaattisen kirjallisuuden käyttö on erittäin luvallista.
3. Tämä derivointitehtävä on esimakua tulevista Lienardin ja Wiechertin kenttien laskemisesta. Tehtävä menee läpi raa'alla laskulla, vaikka pienellä katselulla välivaiheita voi lyhentää. Sinänsä riittää, että kerran elämässään todistaa aaaltoyhtälön ratkaisun oikeaksi. Soveltaminen on tärkeämpää.
4. Tässä on hiukan eksoottisempi mittaehto, joka voi putkahtaa uudestaan esiin jollain modernin fysiikan alalla. Mittaehdon luvallisuus todetaan samalla tavalla kuin perusesimerkeissä: on löydettävä mittafunktion lauseke (tai ainakin tehtävä uskottavaksi, että se voidaan ratkaista).
2. Tässä esimerkissä skalaaripotentiaali voidaan valita nollaksi, joten Lorenzin mittaehto palautuu Coulombin mittaehdoksi.
3. Diffuusioyhtälö on nyt toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö. Ratkaisu on yksinkertainen, kunhan muistaa huolehtia kentän vaimenemisesta syvyyden funktiona. Tämän tehtävän tilanne on geomagneettisen kentän ajallisten vaihteluiden perusmalli maassa. Helppokäyttöinen analyyttinen ratkaisu saadaan myös, jos maan oletetaan koostuvan homogeenisista kerroksista.
4. Kausaalisuusperiaate on keskeinen vaaatimus fysiikassa, eikä suinkaan rajoitu tähän esimerkkiin. Permittiivisyyden käänteinen Fourier-muunnos menee sopivilla puoliympyräreiteillä kompleksitasoa pitkin. Tämän pitäisi olla tuttua FYMM I:ltä.
5. Tuloksen osoittaminen ilman kaavakokoelmia on helpointa permutaatiosymbolin avulla. Sinänsä on samantekevää, millä tavalla tämän kaltaisen teknisen todistuslaskun tekee.
2. Tämä lasku on pelkkää trigonometristen kaavojen käyttöä. Sellaistakin tarvitaan fysiikan arkipäivässä.
3. Rantavahtitehtävässä olisi voinut antaaa lukuarvoja, jolloin tehtävän a-kohdan olisi voinut laskea loppuun asti siististi. Tärkeämpi on kuitenkin b-kohta eli Fermat'n periaate: valo kulkee nopeinta reittiä pitkin.
4. Tässä tehtävässä ei tarvita varsinaisia aaltoputkien yhtälöitä, vaan riittää käyttää annettuja tietoja magneettikentästä TM-moodissa ja soveltaa suoraan tunnettua tangentiaalikomponentin reunaehtoa.
5. Tämä on analoginen ongelma luennolla esitetyn TE-moodin kanssa. Kannattaa lähteä liikkeelle aaltoyhtälöstä, johon tehdään yrite pitkittäiselle sähkökentälle.
2. Magneettikentän ja sähkökentän välisen yhteyden voi todistaa aika helposti, jos lähteekin liikkeelle sähkökentän potentiaaliesityksestä. Tehtävän asettelu ei itse asiassa vaadi magneettikentän eksplisiittisen lausekkeen laskemista, vaikka se kyllä oli tarkoituksena. Joka tapauksessa derivoinnit ovat samanlaisia kuin luennoissa esitetyn sähkökentän tapauksessa.
3. Vetyatomin klassisen elinajan voi arvioida helpoimmin olettamalla, että elektroni pysyy koko ajan samalla etäisyydellä ytimestä, mutta säteilee liike-energiansa pois. Tämä on aika karkea tapa, mutta atomit saa niinkin tuhottua silmänräpäyksessä. Vähän täsmällisemmin voi olettaa, että elektronin radan säde pienenee vähitellen energian säteillessä pois, jolloin elektroni lopulta joutuu ytimeen.
4. Aalto-operaattorin muuntaminen on suoraviivaista derivointia.
5. Tensorilaskut voi hoitaa matriisien avulla, kunhan kertolaskujen järjestys pysyy oikeana. On siis syytä hallita indeksimerkinnän käyttö hyvin. Tensorilaskennan avulla pääsee usein myös paljon helpommalla kuin laskemalla raa'asti auki esimerkiksi paikkanelivektorin neliötä.
2. Duaalinen kenttätensori kuvaa hyvin, kuinka sähkö- ja magneettikentät ovat erottamattomat.
3. Tehtävässä annetut suureet voi esittää tensorilausekkeina, joiden invarianssi on välittömästi selvä. Toinen tapa on suoraviivainen vektorilaskenta kenttien muunnoskaavojen avulla.
4. Voidaan laskea ensin sähkökenttä langan lepokoordinaatistossa ja muuntaa se sitten liikkuvan havaitsijan koordinaatistoon. Toinen tapa on laskea ensin liikkuvan havaitsijan näkemä varaus- ja virrantiheys, jonka jälkeen kenttien lausekkeet on helppo kirjoittaa.
5. Jännitystensorin divergenssin laskeminen vaatii hieman teknistä pyörittämistä ja symmetrioiden huomaamista. Poyntingin vektorin saa suoralla laskulla ilman ongelmia.
2. Hiukkanen tekee puoliympyrän kentässä ja kiepsahtaa takaisin yhtä suurella, mutta vastakkaissuuntaisella nopeudella. Näin käy riippumatta nopeuden suuruudesta. Jos säteilyhäviöt otettaisiin huomioon, tilanne muuttuisi (mieti miten!).
3. Hiukkasen radan voi ratkaista pelkän liikeyhtälön avulla, jos keksii sopivat pyörittelyt. Voi käyttää lisäksi energiaperiaatetta. Laskennallisen vaikeuden aiheuttaa relativistinen "gamma"-tekijä, joka kytkee liikeyhtälön komponentteja toisiinsa.
4. Tehtävässä oli painovirhe, mutta oikean Hamiltonin funktion voi katsoa luennoista. Muuten kyseessä on suoraviivainen derivointi, jossa luennoissa esitetyistä välituloksista voi olla apua. On syytä huomata, että kokonaisaikaderivaatta ja osittaisaikaderivaatta eivät yleisesti ole sama asia.