IL/GEO

Pohdintoja ED:n luennoista (kevät 2003)

1. Johdanto

Viime vuoden tapaan käytiin läpi elektrodynamiikka puolessa tunnissa. Siihen kuuluu Maxwellin yhtälöt, Lorentzin voima, varauksen säilymislaki, varauksen kvantittuminen ja valon nopeuden vakioisuus (unohtuiko mitään?). Kun tähän lisätään Newtonin lait, saadaan suunnilleen klassinen fysiikka kokoon.

2. Staattinen sähkökenttä

Perinteisesti aloitetaan staattisesta sähkökentästä, joka on tuttu ilmiö kuivina pakkaspäivinä. Peruslaki on Coulombin laki yhteenlaskuperiaatteella terästettynä. Saattaa vaikuttaa helpolta, mutta aika monta syvällistä asiaa paljastuu pienen miettimisen jälkeen. Esimerkki: mitä kaikkea seuraa siitä, että Coulombin lain etäisyysriippuvuus on täsmälleen 1/r^2?

Poissonin ja Laplacen yhtälöiden ratkaisu edellyttää runsaasti käyttömatematiikkaa. Erityisesti erikoisfunktiot vaativat totuttautumista, vaikka ne eivät oikeastaan ole sen kummallisempia kuin koulusta tutut "alkeellisemmat" funktiot. Tärkeintä on tunnistaa tilanteet, joissa erikoisfunktioita esiintyy, ja osata hakea kirjallisuudesta apuneuvoja. Kurssin aikana tulee useampaan kertaan mahdollisuus harjoitella.

Hauska tapa ratkoa sähköstatiikan ongelmia on kuvalähdemenetelmä, joka yleistettynä sopii myös ajasta riippuviin tilanteisiin ja erilaisiin väliaineisiin. Menetelmää voi soveltaa myös takaperoisesti: valitaan joukko varauksia ja etsitään potentiaalin nollapinnat. Näin saadaan aikaan monenlaisia tilanteita.

3. Sähkökenttä väliaineessa

Jos väliaine kuvataan varausjakaumilla, muodollinen käsittely ei oikeastaan eroa tyhjiöstä. Polarisoituman käsite antaa kätevästi polarisaatiovaraustiheydet, joita integroimalla potentiaali saadaan kuten ennenkin. Käytännön tilanteissa Maxwellin yhtälöiden väliainemuoto on kuitenkin usein mukavampi. Siinä yhteydessä on syytä sisäistää, mitä Maxwellin ensimmäisessä yhtälössä varaustiheydellä missäkin tilanteessa tarkoitetaan.

4. Sähköstaattinen energia

Energia on nykyfysiikassa keskeisempi suure kuin voima, mihin tärkeänä syynä on energian säilymislaki. Sähköstatiikassakin käännetään ajattelu energiasta voimaan, vaikka alunperin lähdettiin liikkeelle nimenomaan voimia koskevasta Coulombin laista. Sähköstaattista energiaa koskeva mielenkiintoinen kysymys on, kuuluuko energia kentille vai varauksellisille hiukkasille. Energian voi laskea kummallakin tavalla, mutta varsinaiseen kysymykseen ei ole yksiselitteistä vastausta.

5. Staattinen magneettikenttä

Magnetostatiikassa on hyödyllistä pitää koko ajan mielessä sähköstatiikka, koska analogioilla pärjää pitkälle.

Sähkövirran suhteen kannattaa selvittää itselleen stationaarisuuden ja staattisuuden ero. Sähköstatiikassa jauhettiin useaan kertaan, että johteessa ei ole sähkökenttää. Stationaarisessakaan tilanteessa ei aikariippuvuutta ole, mutta johteessa on kenttä. Sen aiheuttaa jokin ulkoinen pakote, joka pitää varaukset liikkeessä.

Ohmin lain klassinen selitys on kovin kvalitatiivinen. Parempi olisi esittää kvanttimekaaninen selitys, mutta se olisi tässä vaiheessa ylikurssia.

Magneettikentän laskeminen Biot'n ja Savartin laista tai Amperen kiertosäännöstä vaatii oikean käden säännön harjoittelua, jotta kentästä saa mielikuvan. Tämä on selvästi vaikeampaa kuin (staattisen) sähkökentän hahmottaminen.

6. Magneettikenttä väliaineessa

Taas voidaan ottaa mallia sähköstatiikasta, vaikka joitain erojakin ilmenee: suhteellinen permeabiliteetti voi olla ykköstä pienempi (diamagnetismi), kun taas suhteellinen permittiivisyys on vähintään ykkönen. Magneettisten aineiden sisäisen elämän tarkastelu on jätettävä kvalitatiiviseksi, koska klassinen fysiikka ei siinä pitkälle riitä.

7. Sähkömagneettinen induktio

Faradayn lain voi esitellä monella tavalla ja sen soveltamisessa ajatukset saa solmuun vielä useammalla tavalla. Perusesimerkit voivat olla näennäisen helppoja ja lakia sovelletaan usein aika huolimattoman tuntuisesti, vaikka lopputulokset olisivatkin oikein. Galilei-invariassi kannattaa pitää mielessä, koska suhteellisuusteoriassa vastaava ajattelu yleistyy Lorentz-invariassina. Faradayn lain integraalimuodon laskennallisessa soveltamisessa on aina muistettava sopia positiiviset suunnat ja pidettävä niistä kiinni.

8. Magneettinen energia

Faradayn laki käsiteltiin ennen magnetostaattista energiaa, koska magnetostaattisen systeemin luomisessa (virtoja muutettaessa) on pitänyt tehdä työtä indusoituvaa sähkömotorista voimaa vastaan. Muuten käsittely on analogista sähköstatiikan kanssa. RCL-piiri on käsitelty yksityiskohtaisesti Kurki-Suonioiden kirjassa Vuorovaikutuksista kenttiin. Laskennallisessa käsittelyssä on ehdottoman tärkeää ymmärtää positiivisten suuntien määrittely.

9. Maxwellin yhtälöt

Tämä on kurssin keskeisin osa. Maxwellin yhtälöt tulevat kokonaan tutuiksi, aiemmin kyseenalaistetut säilymislait pelastetaan ja potentiaalien aaltoyhtälöt ratkaistaan. Seuraava suuri askel eteenpäin tulee kurssin lopussa, kun tutustutaan suppeampaan suhteellisuusteoriaan ja huomataan, että Maxwellin yhtälöt ovat valmiiksi "oikeassa" muodossa.

10. Sähkömagneettiset aallot

Maxwellin yhtälöiden ennustama sähkömagneettinen aaltoliike on elektrodynamiikan tärkeimpiä asioita. Tässä vaiheessa ei ole vielä pohdittu, minkälaisessa koordinaatistossa tarkkailija oikeastaan on, mutta siihen palataan suhteellisuusteoriassa. Tasoaaltojen käsittely voitaisiin aloittaa johtavassa aineessa, mutta ideaalinen eriste on hieman yksinkertaisempi laskennallisesti. Kompleksilukujen sujuva esittäminen eri tavoin on hallittava. Samoin on totuttava siihen, ettei harmonista aikariippuvuutta yleensä viitsitä kirjoita näkyviin ollenkaan.

11. Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Tasoaaltojen heijastumis- ja taittumisongelmissa hyvä yleisohje on seuraava: kirjoitetaan aaltojen lausekkeet kussakin alueessa ja liimataan eri alueet yhteen kenttien rajapintaehtojen avulla. Huolehditaan lisäksi siitä, että kaikki pysyy mielellään äärellisenä. Samanlainen ratkaisutekniikka pätee paljon yleisemminkin.

12. Aaltoputket ja resonansssikaviteetit

Vaikka nämä käsitellään vain lyhyesti, ne ovat hyvää perusfysiikkaa, joka on syytä osata. Kaviteettien ominaistaaajuuksien määrittäminen ei rajoitu sähkömagnetismiin, vaan tulee vastaan esimerkiksi tutkittaessa kvanttimekaanista hiukkasta laatikossa. Kannattaa muutenkin huomata, että Schrödingerin yhtälö on kovasti Helmholtzin yhtälön näköinen.

13. Liikkuvan varauksen kenttä

Vaikka liikkuvan pistevarauksen rata voidaan ilmaista helpon näköisen deltafunktion avulla, potentiaalien laskeminen kentistä puhumattakaan on yllättävän hankalaa. Tulokset on syytä muistaa kvalitatiivisesti ja erityisen tärkeä on kiihtyvyyteen verrannollinen termi eli säteilykentä, joka poikkeaa selvästi aiemmin tutuista kentistä. Viivästyneen ajan käsite tullee puolestaan selvemmäksi vakionopeudella liikkuvan varauksen yhteydessä. Säteilykenttiin liittyvä tärkeä tulos on säteilytehon ilmaiseva Larmorin kaava, joka on osattava perustella kvalitatiivisesti.

14. Säteilevät systeemit

Tämän luvun sisältö sopii paremmin erikoiskursseille, joten se jätettiin nyt väliin.

15. Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria

Enemmän tai vähemmän yksinkertaistaen suppeammassa suhteellisuusteoriassa vain kirjoitetaan Maxwellin yhtälöt erilaisia merkintöjä käyttäen. Keskeinen sanoma elektrodynamiikan kannalta onkin, että Maxwellin yhtälöt ovat täsmälleen samat jokaisen inertiaalihavaitsijan mielestä, kunhan havaitsijoiden välisiä koordinaatistoja yhdistää Lorentzin muunnos. Toisaalta tästä seuraa väistämättä, että havaitsijat mittaavat erilaiset sähkömagneettiset kentät. Kenttien muunnoskaavat ilmaantuvat lähes sivutuotteena. Laskuteknisesti suhteellisuusteoria poikkeaa kovasti aiemmasta elektrodynamiikasta nelivektorien ja tensorien takia. Tällä kurssilla käytetty merkintätapa voi aluksi tuntua oudolta, mutta se mahdollistaa hyvin automaattisen laskennan, jossa tarvitaan vain muutama perussääntö.

16. Varatun hiukkasen liike SM-kentässä

Suhteellisuusteoriassa piti hieman muokata Newtonin liikeyhtälöä, jotta sen muoto säilyisi suppeamman suhteellisuusperiaatteen vaaatimuksen mukaisesti. Relativistinen liikeyhtälö on helposti ratkaistavissa vain muutamissa tilanteissa. Epärelativistinen yhtälö ei oikeastaan ole sekään yhtään helpompi. Tällä kursilla vain hipaistaan liikeyhtälöä, mutta avaruusplasmafysiikassa siihen on tilaisuus tutustua tarkemmin.

17. Ihan oikea esimerkki

Jotta kurssilla opittuja asioita saataisiin liitettyä oikeaan tutkimukseen, tässä luvussa on lyhyt esittely yhdestä Ilmatieteen laitoksen geofysiikan tutkimusosaston pitkäaikaisesta työstä. Elektrodynamiikkaan liittyviä jatko-opintoja voi harjoittaa esimerkiksi yliopiston avaruusfysiikan kursseilla tai TKK:n sähkömagnetiikan laboratorion kursseilla.